Wednesday, May 29, 2024 — 2:30 pm — laboratorio M0.2, edificio Matematica

I numeri infiniti e infinitesimi
per gli studenti dei licei

Abstract: In questo seminario introdurremo i numeri infiniti ed infinitesimi in modo da poter essere utilizzati anche in un possibile percorso didattico nella scuola superiore, in linea con altre esperienze di insegnamento dell’Analisi Nonstandard nelle scuole superiori nate negli ultimi anni (si veda, ad esempio, [1], …, [6]). Tipicamente, i numeri infinitesimi vengono introdotti in relazione al calcolo infinitesimale. Dal punto di vista didattico questo significa che i numeri infiniti ed infinitesimi vengono introdotti durante l’ultimo(i) anno(i) delle scuole superiori. Sarebbe però auspicabile, forse, introdurre i numeri infinitesimi prima, senza dover necessariamente seguire lo sviluppo culturale che abbiamo avuto noi docenti. Infatti, ci sono molti aspetti estremamente interessanti dei numeri infiniti ed infinitesimi che possono essere sviluppati anche prima del calcolo infinitesimale, addirittura prima dell’introduzione dei numeri reali. Tra le motivazioni che suggeriscono l’introduzione dei numeri infiniti e infinitesimi nelle scuole superiori fino dai primi anni possiamo elencare le seguenti:
$\bullet \quad$ l’argomento è affascinante e potrebbe stimolare l’interesse verso la matematica;
$\bullet \quad$ esistono alcune applicazioni della matematica non Archimedea al di fuori del calcolo infinitesimale che possono essere fatte e capite con strumenti relativamente elementari nei primi anni delle superiori, per esempio nel calcolo delle probabilità;
$\bullet \quad$ la capacità di manipolare gli infinitesimi renderà quasi banale la comprensione e le tecniche del calcolo differenziale;
$\bullet \quad$ l’uso dei numeri infiniti e infinitesimi facilita lo sviluppo delle capacità di astrazione dello studente.

Bibliografia:

[1] V. Benci, Un possibile percorso didattico: dalle numerosità ai numeri euclidei, Atti del convegno: VIII giornata nazionale di Analisi Nonstandard (P. Bonavoglia ed.), 21-33 (2019), ISBN: 1220064475.
[2] V. Benci, P. Freguglia, La matematica e l’infinito, Carocci, (2019), ISBN: 8843095250.
[3] P. Bontivoglia, Il calcolo ifinitesimale. Analisi per i licei alla maniera non standard, Universal Book, (2011), ISBN 9788896354131.
[4] K. Hrbacek, O. Lessmann, R. O’Donovan, Analysis with Ultrasmall Numbers, Chapman and Hall/CRC (2015).
[5] H. J. Keisler, Foundations of infinitesimal calculus, last edition, University of Wisconsin at Madison, (2009).
[6] D. Zambelli et al., Matematica dolce 1, …, 5, Matematicamente.it, (2019). ISBN: 9788899988005.

Note del seminario: La versione preliminare dell’articolo
V. Benci, “I numeri infiniti e infinitesimi per gli studenti dei licei“, preprint 2024
contiene le idee presentate da Vieri Benci durante il seminario.
Ringraziamo Vieri Benci per aver condiviso con tutti noi questa versione preliminare dell’articolo.