Wednesday, March 24, 2021 — 4:00 pm — online talk
Stime di tipo Schauder per equazioni di Kolmogorov degeneri con coefficienti Dini continui
Abstract: Studiamo la regolarità locale della soluzione classica $u$ di $\mathscr{L} u = f$, dove $\mathscr{L}$ è l’operatore lineare del secondo ordine in $\mathbb R^{N+1}$:
$$\mathscr{L} u := \sum_{j,k= 1}^{N} a_{jk}\partial_{x_j x_k}^2 u + \sum_{j,k= 1}^{N} b_{jk}x_k \partial_{x_j} u – \partial_t u.$$
Qui $A = \left( a_{jk} \right)_{j,k= 1, \dots, N}, B= \left( b_{jk} \right)_{j,k= 1, \dots, N}$ sono matrici a valori reali con coefficienti costanti e $A$ è simmetrica e non negativa. In particolare, dimostriamo che, se l’operatore $\mathscr{L}$ soddisfa la condizione di ipoellitticità di Hörmander e $f$ è Dini continua, allora le derivate seconde di $u$ sono funzioni Dini continue. In seguito, consideriamo anche il caso di coefficienti $a_{jk}$ Dini continui.
La dimostrazione del nostro principale risultato si basa sul metodo di blow-up introdotto da Wang [4] per l’operatore di Laplace. Al fine di adattare il metodo di Wang al nostro caso, generalizziamo i risultati di Bonfiglioli [1] e quelli di Pagliarani, Pascucci e Pignotti [2] sul polinomio di Taylor. Infatti, mentre gli autori degli articoli sopra citati richiedono che le derivate seconde di $u$ siane Hölderiane, noi dimostriamo l’esistenza del polinomio di Taylor per $u$ nelle assunzioni minime che danno un significato di soluzione classica di $\mathscr{L} u=f$.
Questi risultati sono stati ottenuti in collaborazione con S. Polidoro e B. Stroffolini e sono contenuti nel lavoro [3].
References:
[1] Andrea Bonfiglioli. Taylor formula for homogenous groups and applications. Mathematische Zeitschrift (2008).
[2] Stefano Pagliarani, Andrea Pascucci, and Michele Pignotti. Intrinsic Taylor formula for Kolmogorov-type homogeneous groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications (2015).
[3] Sergio Polidoro, Annalaura Rebucci, and Bianca Stroffolini. Schauder type estimates for degenerate Kolmogorov equations with Dini continuous coefficients. Submitted.
[4] Xu-Jia Wang. Schauder Estimates for Elliptic and Parabolic Equations. Chinese Annals of Mathematics Series B (2006).